Արթուր Մինասյանը մասնակցել է 1997 թվականի Հայաստանի սուպերգավաթի խաղարկության եզրափակչին։
2009 թվականի սկզբին Մինասյանը պայմանագիր է կնքել «Կիլիկիայի» հետ 2,5 տարով։ Սակայն 2010 թվականի առաջնության ավարտից հետո երկու կողմերը փոխադարձ համաձայնությամբ խզել են պայմանագիրը[1]։
Հայաստանի ազգային հավաքականում Մինասյանը հանդես է եկել 1999-2001 թվականներին։ Նորամուտային խաղը կայացել է 1999 թվականի հոկտեմբերի 9-ին Անդորրայի մայրաքաղաքում ընդդեմ այդ երկրի հավաքականի։ Մինասյանը խաղադաշտ է դուրս եկել հանդիպման 78-րդ րոպեին՝ փոխարինելով Արմեն Շահգելդյանին[2]։ Խաղն ավարտվել է 3:0 հաշվով։ Հավաքականում իր միակ գոլը Մինասյանը խփել է Ուզբեկստանի դեմ խաղում, որն ավարտվել է 2։0 հաշվով[3]։